M.c. escher, le génie de l'infinit et de la récurrence

Un tableau qui se plonge dans lui-même au détail, semblant s'étendre à l'infini et au-delà. Pas de magie noire, mais une mise en œuvre sublime de l'effet Droste, signe unique de M.C. Escher.

La galerie d'estampes de 1956, une œuvre emblématique

Un homme se promène dans une galerie, contemplant des estampes. Les images s'élargissent et se déforment, mais conserve une cohérence visuelle qui permet de les suivre étape par étape sans interruption apparente. Le tableau se transforme en. des édifices du port d'une ville côtière (Senglea, Malte). dont l'un se révèle être une galerie d'estampes. où apparaît à nouveau le personnage initial.

Laszlo Korte semble être fasciné par cette œuvre et par le détaillé vidéo de 3Blue1Brown, ce qui l'a amené à l'intégrer comme un shader dans ses outils éducatifs sous forme d'interactif. Il est possible d'arrêter l'image, de se déplacer à l'intérieur et à l'extérieur, de montrer différents modes, de guides mathématiques, etc. L'idée est simple : une image contient une copie plus petite d'elle-même à l'infini. Mais la grâce ne réside pas uniquement dans la répétition de l'image, mais dans la rupture de la séparation entre les copies et dans la conversion de cette récurrence en une spirale continue, comme si tout était une seule scène qui s'enfonçait à l'intérieur.

Les mathématiques derrière l'œuvre

Entrent alors en jeu les mathématiques : coordonnées polaires, logarithmes complexes, exponentiels et transformations conformes qui conservent la forme locale des petits carrés. Pour simplifier : le système de coordonnées est changé, l'image est tournée et agrandie dans ce nouveau espace, puis revient à l'original. La clé réside dans la répartition du zoom. Il est possible de travailler avec une version simple de 16 niveaux d'autosimilitude de 16 fois ; dans l'œuvre d'Escher, il est possible de mesurer que la copie interne est 256 fois plus réduite.